2021年台州农信社考试行测备考：“六字口诀”巧解“另类”和定最值问题

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【例】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1-5题分别有80人，92人，86人，78人和74人答对，答对了3题和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试?

初读这道题，其实很少有同学能反应过来是和定最值问题，我们来看一下它的问题，“至少有多少人能通过考试?”而总人数是100人，即通过与不通过总共100人，所以它还是两个数加和固定，求某个量的最小值的问题。当然，通过读题我们发现这道题目也是容斥问题的一种。但是都不是很好去解出答案来。那现在我们不妨把要求的能通过考试的人数设为x，没通过的人数设为y，那么就有x+y=100 ,如果此时我们能再列出一个关于x、y的方程并且把它们解出来就完美了，我们再看一看其他的条件，答对3、4、5道题目的人能通过考试，反过来答对0、1、2道题目的人不通过，而答对的题目总数为80+92+86+78+74=410道，所以可以列式为(3，4，5)x+(0，1，2)y=410 ‚，此时要怎么做才能得到x的最小值呢?这里老师就要给大家介绍“六子口诀”了，叫做：“小系数，同方向”。具体什么意思以及如何操作呢?

第一点，小系数，小系数指的是x，y两组未知数前的系数相对小的，很显然这里应该是(0,1,2)。那么到底取0还是1还是2呢?我们看第二个点，同方向。问题中求的是x的最小值，因此y的值就要最大，因此y的系数也取相对大的2。再看x的系数，在(3，4，5)中怎么确定呢?这里告诉大家，要跟y同方向确定，即取相对最大的5。因此方程组可以重新转化成 ,解得x=70,所以至少有70人能通过考试。

总结一下，“小系数，同方向”中小系数，指的是从两组系数中相对小的一组入手;同方向有两层内容，第一层指的是若所求为最大值，小系数的几个值中取最大的,若所求为最小值，小系数的几个值中取最小的;第二层指的是另一个未知数系数大小的确定与小系数方向一致。

那为什么有这样一个“六字口诀”呢?它其中所包含的原理是什么呢?我们来探究一下。

对于 ，要求x最小，由式可得y=100-x,将式代入‚式可得：(3，4，5)x+(0,1,2)(100-x)=410,也就是(3，4，5)x+(0,1,2)×100-(0，1，2)x=410，所以 ,要想让x最小，则分子要可能小而分母要尽可能大，当100前面的乘数取2的时候，分子有最小值。既然取了2，那分母第二个括号里就已经确定是2了，要想让分母大那么第一个括号里就应该取最大的5，最后求得x=70。相比于原理，是不是用小系数，同方向要更加简单呢?

清楚了“小系数，同方向”的技巧和原理，下面我们来看两个例题应用一下。

例. 书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少?( )

A:65% B:70% C:75% D:80%

【答案】B

【中公解析】不妨设参与投票的观众总人数为100人，则5幅作品的得票数(不考虑是否有效)分别为69、63、44、58和56，这几个数字的和为290，即5幅作品的总得票数为290，而总共有100人参与投票，可根据等量关系列式求解，投票情况分为有效票和无效票，其中投1幅或2幅作品的票为有效票，投3幅或4幅或5幅作品的票为无效票，设有效票为x，无效票为y，可列出等式：

根据 “小系数，同方向”，即未知数的系数的选择与小系数对应的未知数的极值取值方向一致，x的系数(1,2)比y的系数(3,4,5)要小，所以x与y的系数选择与x的极值取值方向一致。题目要求投票的有效率最高，即有效票数x最大，所以x与y的系数分别取系数范围中的最大值，x的系数取2，y的系数取5，由此得到2x+5y=290，再结合第一个方程，通过简单的代入消元即可确定x=70，所以有效票最多为70票，而此时总投票人数设为了100人，即投票的有效率为70%。

 

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